Question

已知直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1交于A、B两点，
（1）若以AB线段为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
（2）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线对称？说明理由．

Answer

（1）联立方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据方程的根与系数关系可求x1+x2，x1x2，代入直线y=ax+1可求y1y2=（ax1+1）（ax2+1），由题意可得，，即x1x2+y1y2=0，代入可求a的值．
（2）假定存在这样的a，使A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线对称．则由，两式相减得：3（x12-x22）=y12-y22，由题意可知，整理可求
【解析】
（1）联立方程，消去y得：（3-a2）x2-2ax-2=0．…（2分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），那么：…（4分）
由于以AB线段为直径的圆经过原点，那么：，即x1x2+y1y2=0．
所以：x1x2+（ax1+1）（ax2+1）=0，
∴，
∴-2（a2+1）+2a2+3-a2=0
即a2=1
解得a=±1…（6分）
（2）假定存在这样的a，使A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线对称．…（8分）
那么：，两式相减得：3（x12-x22）=y12-y22，从而
因为A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线对称，所以
代入（*）式得到：-2=6，矛盾．
也就是说：不存在这样的a，使A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线对称．…（12分）