Question

P为椭圆上一点，左、右焦点分别为F₁，F₂．
（1）若PF₁的中点为M，求证；
（2）若∠F₁PF₂=60°，求|PF₁|•|PF₂|之值；
（3）求|PF₁|•|PF₂|的最值．

Answer

（1）在△F1PF2中，MO为中位线，根据三角形的中位线定理再结合椭圆的定义即可得出答案．
（2）先利用椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=10，在△PF1F2中利用余弦定理得cos 60°=，两者结合即可求得|PF1|•|PF2|．
（3）由点P（x，y）处的焦半径公式|PF1|=5+x，|PF2|=5-x，知|PF1|•|PF2|=25-，再由|x|≤5，能求出|PF1|•|PF2|的最值．
（1）证明：在△F1PF2中，
∵MO为中位线，
∴|MO|===a-=5-|PF1|…．（3分）
（2）【解析】
∵|PF1|+|PF2|=10，
∴|PF1|2+|PF2|2=100-2|PF1|•|PF2|，
在△PF1F2中，cos 60°=，
∴|PF1|•|PF2|=100-2|PF1|•|PF2|-36，
∴|PF1|•|PF2|=．…（8分）
（3）【解析】
由点P（x，y）处的焦半径公式|PF1|=5+x，|PF2|=5-x，
∴|PF1|•|PF2|=25-，
∵|x|≤5，∴0≤x2≤25，
∴16≤|PF1|•|PF2|≤25．
∴|PF1|•|PF2|的最小值为16，|PF1|•|PF2|的最大值为25．