Question

已知二次函数f（x）=x²-2（10-3n）x+9n²-61n+100（n∈N^*）．
（1）设函数y=f（x）的图象的顶点的横坐标构成数列{a_n}，求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）在（1）的条件下，若数列{c_n}满足c_n=1+（n∈N^*），求数列{c_n}中最大的项和最小的项．

Answer

（1）由y=f（x）的图象的顶点的横坐标为x=-=10-3n，推导出an-an-1=-3．由此能证明{an}是等差数列．
（2）由cn=1+=1+，分类讨论，能求出{cn}中最小的项和最大的项．
【解析】
（1）证明：y=f（x）的图象的顶点的横坐标为x=-=-=10-3n，
∴an=10-3n，…（3分）
∴an-an-1=-3．…（5分）
∴{an}是等差数列．…（6分）
（2）∵cn=1+=1+
=1+，…（8分）
当n≤2时，＜0，且c1＞c2，…（10分）
当n≥3时，＞0且cn＞cn+1．…（12分）
∴{cn}中最小的项为c2=-1，最大的项为c3=3．…（13分）