Question

在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（Ⅰ） 求证：AB∥平面DEG；
（Ⅱ） 求证：BD⊥EG；
（Ⅲ） 求二面角C-DF-E的余弦值．

Answer

（Ⅰ） 先证明四边形ADGB是平行四边形，可得AB∥DG，从而证明AB∥平面DEG．
（Ⅱ） 过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE，DH⊥EG，再证BH⊥EG，从而可证EG⊥平面BHD，故BD⊥EG．
（Ⅲ）分别以 EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得是平面EFDA的法向量．
求出平面DCF的法向量为n=（x，y，z），则由求得 二面角C-DF-E的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．  又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴，
∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG．
（Ⅱ）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，
∴AE⊥平面BCFE． 过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．
∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，
∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG． 又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．
∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．
（Ⅲ）分别以 EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得
是平面EFDA的法向量．设平面DCF的法向量为n=（x，y，z），∵，
∴，即，令z=1，得n=（-1，2，1）． 设二面角C-DF-E的大小为θ，
则，∴二面角C-DF-E的余弦值为．