Question

如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P为SB的中点．
（1）求证：SA∥平面PCD；
（2）求圆锥SO的表面积；
（3）求异面直线SA与PD所成的角正切值．

Answer

（1）连接PO，利用三角形中位线性质，可得线线平行，从而可得线面平行；
（2）分别计算圆锥底面、侧面面积，即可求得圆锥SO的表面积；
（3）确定∠DPO为异面直线SA与PD所成的角，即可求得结论．
（1）证明：连接PO，
∵P、O分别为SB、AB的中点，∴PO∥SA，
∵PO⊂平面PCD，SA⊄平面PCD
∴SA∥平面PCD；
（2）【解析】
∵圆锥的底面半径r=2，母线长l=SB=，
S底面=πr2=4π，S侧面=πlr=4π
S圆锥表面=S底面+S侧面=4（+1）π
（3）【解析】
∵PO∥SA，∴∠DPO为异面直线SA与PD所成的角，
∵AB⊥CD，SO⊥CD，AB∩SO=O
∴CD⊥平面SOB．
∵PO⊂平面SOB，∴OD⊥PO，
在Rt△DOP中，OD=2，OP=SA=SB=，
∴tan∠DPO==
∴异面直线SA与PD所成角的正切值为．