Question

如图，一条螺旋线是用以下方法画成：△ABC中边长为1的正三角形，曲线CA₁，A₁A₂，A₂A₃分别以A、B、C为圆心，AC、BA₁、CA₂为半径画的弧，曲线CA₁A₂A₃称为螺旋线旋转一圈，然后又以A为圆心AA₃为半径画弧，这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度l_n=    ．（用π表示即可）

Answer

根据弧长公式分别求出CA1，A1A2，A2A3…A3n-2A3n-1，A3n-1A3n的长度，从而可知是 为首项，为公差，项数为3n的等差数列，然后利用等差数列求和公式进行求解即可．
【解析】
根据弧长公式知CA1，A1A2，A2A3…A3n-2A3n-1，A3n-1A3n的长度分别为：，，…，，
化简得：，2×，3×，…，3n×，此数列是 为首项，为公差，项数为3n的等差数列，则根据等差数列的求和公式得Sn=3n×+×=2nπ+nπ（3n-1）=n（3n+1）π．
故答案为：（3n2+n）π