Question

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2．
（1）求f（x）函数图象的对称轴方程；
（2）求f（x）的单调增区间．
（3）当时，求函数f（x）的最大值，最小值．

Answer

（1）利用三角函数中的恒等变换应用将f（x）化为f（x）=sin（2x+）即可求f（x）函数图象的对称轴方程；
（2）利用正弦函数的性质可求得f（x）=sin（2x+）的单调增区间；
（3）当x∈[，]时，可求得2x+的范围，从而可求得函数f（x）的最大值，最小值．
【解析】
（1）∵f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x-2
=1+sin2x+1+cos2x-2
=sin2x+cos2x
=sin（2x+），
由2x+=kπ+，k∈Z，得：x=+，k∈Z；
∴函数f（x）图象的对称轴方程为：x=+，k∈Z．
（2）∵f（x）=sin（2x+），
∴由2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ-≤x≤2kπ+，k∈Z．
∴f（x）=sin（2x+）的单调增区间为：[kπ-，2kπ+]k∈Z．
（3）≤x≤，
∴2x+∈[，]，
∴f（x）=sin（2x+）∈[-1，1]．
∴函数f（x）的最大值为：1，最小值为：-1．