Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=a．
（1）求证：AD⊥B₁D；
（2）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（3）求点A₁到平面AB₁D的距离．

Answer

（1）根据已知条件，证明出AD⊥平面BB1D，再根据线面垂直的性质，即可得到AD⊥B1D；
（2）证明DE∥A1C后，根据线面平行的判定定理，即可得到答案；
（3）根据等体积法，即，求出棱锥体积，及底面面积，即可求出点A1到平面AB1D的距离
【解析】
（1）证明：∵ABC-A1B1C1是正三棱锥，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD，
在正△ABC中，∵D是BC的中点，∴AD⊥BD．BB1∩BD=B，
∴AD⊥平面BB1D，∴AD⊥B1D．（4分）
（2）连接DE．AA1=AB，四边形A1ABB1是正方向，∴E是A1B的中点，又D是BC的中点，
∴DE∥A1C，∵DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．（8分）
（3），所以，
解得．（12分）