Question

已知函数，且f（x）在x=1处取得极值．
（1）求b的值；
（2）若当x∈[-1，]时，恒成立，求c的取值范围；
（3）对任意的x₁，x₂∈[-1，]，是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由．

Answer

（1）（1）先对函数进行求导，然后根据f'（1）=0求出b的值；
（2）先求函数在区间上的最小值，再转化为解不等式即可；
（3）将问题等价转化为|f（x1）-f（x2）|≤|fmax（x）-fmin（x）|，再在（2）的基础上求出区间上的最小值即可证得
【解析】
（1）因为，
所以f′（x）=x2-3x+b．…（2分）
因为f（x）在x=1处取得极值，所以f′（1）=1-3+b=0．解得b=2．…（4分）
（2）因为．所以f′（x）=x2-3x+2=（x-1）（x-2），
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x -1 （-1，1） 1 （1，2） 2
f′（x） + - +
f（x） 单调递增
单调递减 单调递增

因此当x=1时，f（x）有极大值．…（6分）
又，＜，
∴x∈[-1，]时，f（x）最大值为．…（7分）
∴．∴c＜-1或c＞2．…（8分）
（3）对任意的x1，x2∈[-1，]，恒成立．
由（2）可知，当x=2时，f（x）有极小值．
又，．
∴x∈[-1，]时，f（x）的最小值为-+c．…（10分）
∴，故结论成立．…（12分）