(I)由a1=a且0<a<1代入得到a2;a2∈(3,4),代入(2)得到a3;a3∈(0,1),代入(1)得a4;a4∈(3,4),代入(2)得到a4;a5∈(0,1),代入(1)所以求得a5;
(II)分两种情况①当0<an≤3时和②当3<an<4得到0<an+1<4得证;
(III)分三种情况若0<a<1;1≤a<2;若a=2,由特殊值得到k的特值,写出k的一般的取值即可.
【解析】
(Ⅰ)因为a1=a∈(0,1)得a2∈(3,4),所以a2=-a1+4=-a+4;
a3∈(0,1)所以a3=a2-3=-a+1;
a4∈(3,4)所以a4=-a3+4=a+3,
a5∈(0,1)所以a5=a4-3=a
(Ⅱ)证明:①当0<an≤3时,an+1=-an+4,所以1≤an+1<4.
②当3<an<4,an+1=an-3,所以0<an+1<1.
综上,0<an<4时,0<an+1<4
(Ⅲ)【解析】
①若0<a<1,由(I)知a5=a1,所以k=4
因此,当k=4m(m∈N*)时,对所有的n∈N*,an+k=an成立
②若1≤a<2,则a2=-a+4,且a2∈(2,3]a3=-a2+4=-(-a+4)+4=a=a1,所以k=2
因此,当k=2m(m∈N*)时,对所有的n∈N*,an+k=an成立
③若a=2,则a2=a3=a4=2,所以k=1,
因此k=m(m∈N*)时,对所有的n∈N*,an+k=an成立
综上,若0<a<1,则k=4m;1≤a<2,则k=2m;若a=2,则k=m.m∈N*