Question

已知a＞0，函数f（x）=lnx-ax²，x＞0．（f（x）的图象连续不断）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明：存在x∈（2，+∞），使；
（Ⅲ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f（α）=f（β），证明．

Answer

（I）求导数fˊ（x）；在函数 的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0确定函数的单调区间，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．
（II）由（I）知f（x）在（0，2）内单调递增，在（2，+∞）内单调递减．令．利用函数f（x）在（0，2）内单调递增，得到．最后取．从而得到结论；
（III）先由f（α）=f（β）及（I）的结论知，从而f（x）在[α，β]上的最小值为f（a）．再依1≤α≤2≤β≤3建立关于a的不等关系即可证得结论．
【解析】
（I），
令．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

 所以，f（x）的单调递增区间是的单调递减区间是．
（II）证明：当．
由（I）知f（x）在（0，2）内单调递增，
在（2，+∞）内单调递减．
令．
由于f（x）在（0，2）内单调递增，
故．
取．
所以存在x∈（2，x'），使g（x）=0，
即存在．
（说明：x'的取法不唯一，只要满足x'＞2，且g（x'）＜0即可）
（III）证明：由f（α）=f（β）及（I）的结论知，
从而f（x）在[α，β]上的最小值为f（a）．
又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．
故
从而．