Question

已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点P（2，1）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过Q（1，1）作直线交抛物线于A、B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程．

Answer

（1）设抛物线的标准方程为 x2=2py，把点P（2，1）代入可得 p 值，从而求得抛物线的标准方程．
（2）由题意可知，AB的斜率存在，设AB的方程为 y-1=k（x-1），代入抛物线的标准方程化简，由x1+x2=2，求得k的值，从而得到AB的方程．
【解析】
（1）设抛物线的标准方程为  x2=2py，把点P（2，1）代入可得 4=2p，∴p=2，
故所求的抛物线的标准方程为x2=4y．
（2）由题意可知，AB的斜率存在，设AB的方程为 y-1=k（x-1），代入抛物线的标准方程为x2=4y 可得
x2-4kx+4k-4=0，∴x1+x2=4k=2，∴k=，∴AB的方程为 y-1=（x-1），
即x-2y+1=0．