Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AD，DD₁的中点，AB=BC=2，A₁A=2
（Ⅰ）求证：EF∥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）在线段BC₁是否存在点P，使直线A₁P与C₁D垂直，如果存在，求线段A₁P的长，如果不存在，请说明理由．

Answer

（I）连接AD1，根据正方体的几何特征可得四边形ABC1D1是平行四边形，进而根据E，F分别是AD，DD1的中点，由三角形中位线定理可得AD1∥EF，最后由线面平行的判定定理得到EF∥平面A1BC1；
（Ⅱ）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，推出A1P⊥C1D，证明A1P⊥C1D，推出△D1C1Q∽Rt△C1CD，再求求线段A1P的长．
证明：（Ⅰ）连接AD1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
，则四边形ABC1D1是平行四边形，
∴AD1∥BC1，
又∵E，F分别是AD，DD1的中点
∴AD1∥EF，
∴EF∥BC1，又EF⊄面A1BC1，BC1⊂面A1BC1，
∴EF∥平面A1BC1（3分）
【解析】
（II）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，
过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D．（7分）
因为A1D1⊥平面CC1D1D，C1D⊂平面CC1D1D，
∴C1D⊥A1D1，而QP∥CB，CB∥A1D1，∴QP∥A1D1，
又∵A1D1∩D1Q=D1，∴C1D⊥平面A1PQC1，
且A1P⊂平面A1PQC1，∴A1P⊥C1D．（10分）
∵△D1C1Q∽Rt△C1CD，
∴=，∴C1Q=
又∵PQ∥BC，
∴PQ=BC=1．
∵四边形A1PQD1为直角梯形，且高D1Q=，
∴A1P==．（14分）