Question

已知A（1，0），B（4，0），动点T（x，y）满足，设动点T的轨迹是曲线C，直线l：y=kx+1与曲线C交于P，Q两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）若，求实数k的值；
（3）过点（0，1）作直线l₁与l垂直，且直线l₁与曲线C交于M，N两点，求四边形PMQN面积的最大值．

Answer

（1）设D（x，y）为曲线C上任一点，由动点T（x，y）满足，利用两点间距离公式能求出曲线C的方程．
（2）因为，所以，∠POQ=120°，由此利用圆心到直线l：kx-y+1=0的距离能求出k．
（3）当k=0时，四边形PMQN面积为4．当k≠0时，圆心到直线l：kx-y+1=0的距离，SPMQN==2•，由此能求出四边形PMQN面积最大值．
【解析】
（1）设D（x，y）为曲线C上任一点，
∵动点T（x，y）满足，
∴，
化简整理得x2+y2=4．
∴曲线C的方程为x2+y2=4．（3分）
（2）因为，
所以，∠POQ=120°，
所以圆心到直线l：kx-y+1=0的距离，
所以k=0．（6分）
（3）当k=0时，，
当k≠0时，圆心到直线l：kx-y+1=0的距离，
所以，
同理得，
∴SPMQN==2•，
S=2≤2×=7，
当且仅当k=±1时取等号，
∴当k=±1时，Smax=7，
综上所述，当k=±1时，四边形PMQN面积有最大值7．