Question

己知圆C：（x-2）²+y²=9，直线l：x+y=0．
（1）求与圆C相切，且与直线l平行的直线m的方程；
（2）若直线n与圆C有公共点，且与直线l垂直，求直线n在y轴上的截距b的取值范围．

Answer

（1）由两直线平行时斜率相等，根据直线l方程设所求切线方程为x+y+c=0，由直线与圆相切时，圆心到切线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，即可确定出直线m的方程；
（2）根据直线l与所求直线垂直，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1，设直线n方程为y=x+b，代入圆的方程消去y得到关于x的一元二次方程，由直线l与圆C有公共点，得到根的判别式的值大于等于0列出关于b的不等式，求出不等式的解集即可得到b的范围．
【解析】
（1）∵直线m∥直线x+y=0，
∴设m：x+y+c=0，
∵直线m与圆C相切，
∴3=，
解得：c=-2±3，
得直线m的方程为：x+y-2+3=0或x+y-2-3=0；
（2）由条件设直线n的方程为：y=x+b，
代入圆C方程整理得：2x2+2（b-2）x+b2-5=0，
∵直线l与圆C有公共点，
∴△=4（b-2）2-8（b2-5）=-4b2-16b+56≥0，即b2+4b-14≤0，
解得：-2-3≤b≤-2+3．