Question

设圆（x-2）²+（y-2）²=4的切线l与两坐标轴交于点A（a，0），B（0，b），ab≠0．
（1）证明：（a-4）（b-4）=8；
（2）若a＞4，b＞4，求△AOB的面积的最小值．

Answer

（1）设出直线l的截距式方程，整理为一般形式，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，由直线l与圆相切，得到d=r，列出关系式，整理后即可得证；
（2）利用三角形面积公式表示出三角形AOB的面积，将（1）得出关系式变形后代入，利用基本不等式即可求出三角形AOB的最小值，以及此时a与b的值．
（1）证明：直线l的方程为+=1，即bx+ay-ab=0，
则圆心（2，2）到切线l的距离d=r，即=2，
整理得：ab-4（a+b）+8=0，
则（a-4）（b-4）=8；
（2）【解析】
由（a-4）（b-4）=8，得到ab=4（a+b）-8，
又a＞4，b＞4，
∴S△AOB=ab=2[（a-4）+（b-4）+6]≥2（2+6）=4（3+2），（当且仅当a=b=4+2时取等号），
则△AOB面积的最小值是12+8．