Question

在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知 PA⊥平面ABCD，AB∥DC，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M为PB的中点．
（Ⅰ）求证：MC∥平面PAD；
（Ⅱ）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角A-PB-C的平面角的正切值．

Answer

（Ⅰ）取PA的中点E，连接ME，DE，证明四边形DCME为平行四边形，可得MC∥DE，利用线面平行的判定，可得MC∥平面PAD；
（Ⅱ）取PC中点N，则可得∠MCN为直线MC与平面PAC所成角，从而可求直线MC与平面PAC所成角的余弦值；
（Ⅲ）取AB的中点H，连接CH，过H作HG⊥PB于G，连接CG，则∠CGH为二面角A-PB-C的平面角，由此可求二面角A-PB-C的平面角的正切值．
（Ⅰ）证明：如图，取PA的中点E，连接ME，DE，∵M为PB的中点，
∴EM∥AB，且EM=AB．
又∵AB∥DC，且DC=AB，
∴EM∥DC，且EM=DC
∴四边形DCME为平行四边形，∴MC∥DE，
又MC⊄平面PAD，DE⊂平面PAD
所以MC∥平面PAD；
（Ⅱ）【解析】
取PC中点N，则MN∥BC
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
又AC2+BC2=2+2=AB2，∴AC⊥BC
∵PA∩AC=A，PA⊥BC，AC⊥BC
∴BC⊥平面PAC，
∴MN⊥平面PAC
∴∠MCN为直线MC与平面PAC所成角，
∵NC=PC=，MC=PB=，
∴cos∠MCN==；
（Ⅲ）【解析】
取AB的中点H，连接CH，则由题意得CH⊥AB
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CH，则CH⊥平面PAB．
所以CH⊥PB，
过H作HG⊥PB于G，连接CG，则PB⊥平面CGH，所以CG⊥PB，则∠CGH为二面角A-PB-C的平面角．
∵PA=1，∴CH=1，AB=2，
∵PA=1，AB=2，∴PB==
∴GH=BHsin∠PBA=BH=，∴tan∠CGH==
故二面角A-PB-C的平面角的正切值为．