Question

已知a＞0，过M（a，0）任作一条直线交抛物线y²=2px（p＞0）于P，Q两点，若为定值，则a=（ ）
A．
B．2p
C．
D．p

Answer

利用直线的参数方程来求，先设直线PQ的参数方程，用参数表示P，Q两点的坐标，求MP，MQ的长度，再代入，如为定值，则化简后与参数α无关，就可求出a的值．
【解析】
设直线PQ的参数方程为x=a+tcosα，y=tsinα
则P，Q点的坐标分别为：（a+t1cosα，t1sinα），（a+t2cosα，t2sinα），
∴|MP|2=（a+t1cosα-a）2+（t1sinα）2=t12cos2α+t12sin2α=t12
|MQ|2=（a+t2cosα-a）2+（t2sinα）2=t22cos2α+t22sin2α=t22
又∵P，Q在抛物线y2=2px，
∴（t1sinα）2=2p（a+t1cosα）
（t2sinα）2=2p（a+t2cosα）
∴sin2αt12-2pcosαt1-2pa=0
sin2αt22-2pcosαt2-2pa=0
∴t1，t2是方程sin2αt2-2pcosαt-2pa=0的两根，
∴t1+t2=，t1•t2=-
t12+t22=（t1+t2）2-2t1t2=
∵==
==为定植，∴a=p

故选D