Question

已知函数
（1）若函数f（x）在区间上存在极值，其中a＞0，求实数a的取值范围．
（2）设，若g（x）在（0，1]上的最大值为，求实数b的值．

Answer

（1）利用导数求出函数f（x）的极值点，设为x，则，由此可得a的范围；
（2）写出g（x）的表达式，利用导数求出g（x）在（0，1]上的最大值，使其等于，即可求得b值；
【解析】
（1）∵函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，，
令，解得x=1，
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）在x=1处取极大值，
因为f（x）在区间上存在极值，所以，解得，
所以实数a的取值范围是（，2）．
（2）g（x）=xf（x）+bx-1-ln（2-x）=bx+lnx-ln（2-x），
∵b＞0，当x∈（0，1]时，g′（x）=b+＞0，
所以g（x）在（0，1]上单调递增，
故g（x）在（0，1]上的最大值为g（1）=b，
因此．