Question

已知双曲线C：的渐近线方程为，O为坐标原点，点在双曲线上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且，求|OP|²+|OQ|²的最小值．

Answer

（1）由渐近线方程可得关于a、b的一个方程，再把点代入双曲线的方程又得到关于a、b的一个方程，将以上方程联立即可解得a、b的值；
（2）利用⇔、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式即可求出．
【解析】
（1）双曲线C的渐近线方程为，
∴b2=3a2，
∵点在双曲线上，∴，
联立得，解得，
∴双曲线C的方程为．
（2）设直线PQ的方程为y=kx+m，点P（x1，y1），Q（x2，y2），
将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为（3-k2）x2-2kmx-m2-12=0
∴（*）
，
由，
把y1=kx1+m，y2=kx2+m代入上式可得，
∴，
化简得m2=6k2+6．
，
当k=0时，成立，且满足（*）
又∵当直线PQ垂直x轴时，|PQ|2＞24，
∴|OP|2+|OQ|2的最小值是24．