(1)求导函数,令,即可求得切线的斜率;
(2)分类讨论,利用导数的正负,即可得到函数的单调区间;
(3)原命题等价于g(x)在x∈[1,2]的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值,由此可求实数b的取值范围.
【解析】
(1)∵a=0,∴,
∴
则f(x)在处切线的斜率…(4分)
(2)函数f(x)的定义域为x∈(0,+∞),
①当a=0时,,令f'(x)=0,解得x=1,
∴x∈(0,1),f'(x)<0;x∈(1,+∞),f'(x)>0
∴函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1)…(6分)
②当时,,解得x1=1或且x1<x2
列表
x (0,1) 1 (1,) ()
f′(x) - + -
f(x) ↓ 极小值 ↑ 极大值 ↓
由表可知函数f(x)的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为,单调递减区间为;
③当时,,∴函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞).…(10分)
(3),,解得x1=1或x2=3
∵x∈(0,2),∴f(x)的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(1,2),
∴f(x)的最小值为
原命题等价于g(x)在x∈[1,2]的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值,
又g(x)=x2-2bx+3x∈[1,2]
①当b<1时,g(x)的最小值为g(1)=4-2b>2,不合;
②当b∈[1,2]时,g(x)的最小值为,解得;
③当b∈(2,+∞)时,g(x)的最小值为,解得b>2,
综上,b的取值范围. …(14分)