Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数m，n都有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）证明f（0）=1，且x＜0时，f（x）＞1；
（2）证明f（x）在R上单调递减．

Answer

（1）令m=1，n=0，代入f（m+n）=f（m）•f（n）即可；
（2）利用单调函数的定义，设x1＜x2，判断f（x2）-f（x1）＜0即可．
证明：（1）令m=1，n=0，代入f（m+n）=f（m）•f（n）中得：
f（1+0）=f（1）•f（0），即f（1）=f（1）•f（0），
∵1＞0，
∴0＜f（1）＜1，
∴f（0）=1…2分
当x＜0时，-x＞0，故得0＜f（-x）＜1，令m=x，n=-x，则m+n=0，代入f（m+n）=f（m）•f（n）中得：
f（x）•f（-x）=f（0）=1，
∴f（x）=＞1…6分
（2）设x1＜x2，则x2-x1＞0且0＜f（x2-x1）＜1，f（x1）＞0，
∴f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）
=f（x2-x1）•f（x1）-f（x1）
=f（x1）[f（x2-x1）-1]，
∵x2-x1＞0，
∴f（x2-x1）＜1，
∴f（x2-x1）-1＜0，
∴f（x2）-f（x1）＜0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在R上单调递减．