Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=19，S_n=na_n+n（n-1），其中n=2，3，4，…
（1）求数列{a_n}的通项公式及S的最大值；
（2）若数列{b_n}满足b_n=a_ncos（nπ）+2ⁿ （n∈N⁺），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）再写一式，两式相减，可得数列{an}是以19为首项，-2为公差的等差数列，从而可数列{an}的通项公式及Sn的最大值；
（2）首先利用诱导公式以及（1）求出数列{bn}的通项公式，然后分类讨论，即可求数列{bn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）由题意，∵Sn=nan+n（n-1），
∴n≥3时，Sn-1=（n-1）an-1+（n-1）（n-2），
两式相减可得an=[nan+n（n-1）]-[（n-1）an-1+（n-1）（n-2）]，
整理可得an-an-1=-2（n≥3）
当n=2时，S2=2a1+2，∵a1=19，∴a2=17，
∴数列{an}是以19为首项，-2为公差的等差数列
∴an=19+（n-1）×（-2）=21-2n
令an≥0，可得n≤10.5，∴n=10时，Sn取得最大值，最大值为100；
（2）bn=ancos（nπ）+2n=（-1）nan+2n
当n为偶数时，Tn=b1+b2+…+bn=（-a1+2）+（a2+22）+（-a3+23）+…+（an+2n）
=（-2）×+=2n+1-n-2
当n为奇数时，Tn=b1+b2+…+bn=（-a1+2）+（a2+22）+（-a3+23）+…+（-an+2n）
=-a1+（a2-a3）+…+（an-1-an）+
=-19+2×+2n+1-2=2n+1+n-22
∴Tn=