Question

已知函数f（x）=（x+1）lnx．
（1）求f（x）在x=1处的切线方程；
（2）设，对任意x∈（0，1），g（x）＜-2，求实数a的取值范围．

Answer

（1）函数f（x）=（x+1）lnx定义域为（0，+∞），由，知f′（1）=2，且切点为（1，0，由此能求出f（x）在x=1处的切线方程．
（2）由已知a≠0，因为x∈（0，1），所以．当a＜0时，g（x）＞0，不合题意．当a＞0时，x∈（0，1），由g（x）＜-2，得lnx+．由此能求出实数a的取值范围．
（本小题满分12分）
【解析】
（1）函数f（x）=（x+1）lnx定义域为（0，+∞），…（1分）
∵，
∴f′（1）=2，且切点为（1，0）…（4分）
故f（x）在x=1处的切线方程y=2x-2．…-（6分）
（2）由已知a≠0，因为x∈（0，1），
所以．
①当a＜0时，g（x）＞0，不合题意．…（8分）
②当a＞0时，x∈（0，1），
由g（x）＜-2，得lnx+．
设，
则x∈（0，1），h（x）＜0.．
设m（x）=x2+（2-4a）x+1，
方程m（x）=0的判别式△=16a（a-1）．
若a∈（0，1]，△≤0，m（x）≥0，h′（x）≥0，
h（x）在（0，1）上是增函数，又h（1）=0，
所以x∈（0，1），h（x）＜0．…（10分）
若a∈（1，+∞），△＞0，m（0）=1＞0，m（1）=4（1-a）＜0，
所以存在x∈（0，1），使得m（x）=0，
对任意x∈（x，1），m（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）在（x，1）上是减函数，
又h（1）=0，所以x∈（x，1），h（x）＞0．
综上，实数a的取值范围是（0，1]．…（12分）