Question

如图，F₁、F₂分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF₂与椭圆C的另一个交点，∠F₁AF₂=60°．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）已知△AF₁B的面积为40，求a，b 的值．

Answer

（Ⅰ）直接利用∠F1AF2=60°，求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a-m，利用余弦定理以及已知△AF1B的面积为40，直接求a，b 的值．
【解析】
（Ⅰ）∠F1AF2=60°⇔a=2c⇔e==．
（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a-m，
在三角形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2||F1F2|cos120°
⇔（2a-m）2=m2+a2+am．⇔m=．
△AF1B面积S=|BA||F1F2|sin60°
⇔=40
⇔a=10，
∴c=5，b=5．