Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意的n∈N^*，满足关系式2S_n=3a_n-3．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的通项公式是，前n项和为T_n，求证：对于任意的正整数n，总有T_n＜1．

Answer

（I）由已知得，故2（Sn-Sn-1）=2an=3an-3an-1．由此可求出an=3n（n∈N*）．
（Ⅱ），所以Tn=b1+b2+…+bn=1-．
【解析】
（I）由已知得
故2（Sn-Sn-1）=2an=3an-3an-1
即an=3an-1，n≥2
故数列an为等比数列，且q=3
又当n=1时，2a1=3a1-3，∴a1=3，
∴an=3n，n≥2．
而a1=1亦适合上式
∴an=3n（n∈N*）．
（Ⅱ）
所以Tn=b1+b2+…+bn
=
=1-．