Question

已知等差数列{a_n}和正项等比数列{b_n}，a₁=b₁=1，a₃+a₇=10，b₃=a₄
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式
（2）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）利用等差数列的性质求出a5，利用等差数列的通项公式求出公差d，再利用等差数列的通项公式求出通项；利用等比数列的通项公式求出公比，进一步求出通项．
（2）求出cn，据其特点是由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成，利用错位相减法求出数列的前n项和．
【解析】
（1）依题意，{an}为等差数列设其公差为d；{bn}为等比数列，设其公比为q，则可知q＞0
∵a3+a7=10
∴2a5=10即a5=5
又a1=1
∴a5-a1=4d=4解得d=1
故an=a1+（n-1）d=n
由已知b3=a4=4
∴即q=2
∴bn=b1qn-1=2n-1
∴an=n，bn=2n-1
（2）∵cn=an•bn=n•2n-1
∴Tn=1×2+2×21+3×22+…+n×2n-1
∴2Tn=1×21+2×22+3×23+…+（n-1）×2n-1+n×2n
两式相减得-Tn=2+21+22+…+2n-1-n×2n
=
∴Tn=（n-1）×2n+1