Question

已知函数．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围；
（3）n∈N^*，求证：．

Answer

（1）由f（x）=alnx+x2-（1+a）x（x＞0），得f′（x）=+x-（1+a），x＞0，由此根据a的取值范围进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．
（2）由于f（1）=--a，当a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．当a≤0时，由（1）得f（x）在区间（0，+∞）上取得最小值为f（1）=--a，由此能求出实数a的取值范围．
（3）由（2）知，当a=-时，f（x）=-lnx+x2-x≥0，当且仅当x=1时，等号成立，这个不等式等价于lnx≤x2-x．由此能够证明对任意的正整数n，不等式恒成立．
【解析】
（1）∵f（x）=alnx+x2-（1+a）x（x＞0），
∴f′（x）=+x-（1+a），x＞0，
①当a≤0时，若0＜x＜1，则f′（x）＜0，
故函数f（x）的单调减区间是（0，1）；
若x＞1，则f′（x）＞0，故函数f（x）的增区间是（1，+∞）．
②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调减区间是（a，1）；
单调增区间是（0，a），（1，+∞）．
③当a=1时，则f′（x）=≥0，
故函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
⑤当a＞1时，函数f（x）的单调递减区间是（1，a）；
函数f（x）的单调区间是（0，1），（a，+∞）．
（2）由于f（1）=--a，
当a＞0时，f（1）＜0，
此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．
当a≤0时，由（1）得f（x）在区间（0，+∞）上的极小值，也是最小值为f（1）=--a，
此时，f（1）≥0，解得a≤-，
故实数a的取值范围是（-∞，-）．
（3）由（2）知，当a=-时，
f（x）=-lnx+x2-x≥0，当且仅当x=1时，等号成立，
这个不等式等价于lnx≤x2-x．
当x＞1时，变换为 ＞=-，
在上面的不等式中，
令x=2，3，…，1+n，
则有＞（1-）+（ -）+（ -）+…+（ -）=，
即对任意的正整数n，不等式 恒成立．