Question

如图，F为抛物线y²=2px的焦点，A（4，2）为抛物线内一定点，P为抛物线上一动点，且|PA|+|PF|的最小值为8．
（1）求该抛物线的方程；
（2）如果过F的直线l交抛物线于M、N两点，且|MN|≥32，求直线l的倾斜角的取值范围．

Answer

（1）如图，设抛物线的准线为l，过P作PB⊥l于B，过A作AC⊥l于C，由抛物线定义知当且仅当A，P，C三点共线取等号．由题意知|AC|=8，从而求得p值，最后写出抛物线的方程；
（2）设直线l的方程为y=k（x-4），将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得k值的范围，从而解决问题．．
【解析】
（1）设P点到抛物线的准线x=-的距离为d，
由抛物线的定义知d=|PF|，
∴（|PA|+|PF|）min=（|PA|+d）min=+4，
∴+4=8⇒p=8，
∴抛物线的方程为y2=16x．…（6分）
（2）由（1）得F（4，0），设直线l的方程为y=k（x-4），显然k≠0．设M（x1，y1），N（x2，y2），
把直线方程代入抛物线，得k2x2-（8k2+16）x+16k2=0，
x1+x2=，x1•x2=16，
∴|MN|=×
=×=×
=×16=≥32，
∴k2≤1，即-1≤k≤1，
∴直线l斜率的取值范围为[-1，0）∪（0，1]，
∴直线l倾斜角的取值范围为：（0，]∪[，π）       …（13分）