Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥PD，E，F分别为PC，BD的中点．证明
（1）EF∥平面PAD；
（2）EF⊥平面PDC．

Answer

（1）若证明EF∥平面PAD，关键是要找到平面PAD内一条可能与EF平行的直线，分别图形后发现PA即为所求，故连接AC后，利用中位线的性质，即可临到结论．
（2）若证明EF⊥平面PDC，我们要证明EF与平面PDC中两条相交直线均垂直，已知中底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥PD，结合（1）中结论，易证明出：CD⊥PA且PA⊥PD，根据线面垂直的判定定理即可得到结论．
证明：（1）连接AC，在△CPA中，因为E，F分别为PC，BD的中点，
所以EF∥PA．而PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
所以直线EF∥平面PAD．
（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，且CD⊥AD，
所以CD⊥PA．又因为PA⊥PD，且CD，PD⊂平面PDC，
所以PA⊥平面PDC．而EF∥PA，所以EF⊥平面PDC．