Question

已知三棱锥A-BCD及其三视图如图所示．
（1）求三棱锥A-BCD的体积；
（2）点D到平面ABC的距离；
（3）求二面角 B-AC-D的正弦值．

Answer

（1）由三视图即可得出：AD⊥底面CBD，AD=2，底面△BCD为等腰直角三角形，∠CBD=90°，BC=BD=1，即可求出体积；
（2）过D点作DE⊥AB交AB于E，根据条件只要证明：DE即为点D到平面ABC的距离，进而求出即可．
（3）过点D作DF⊥AC交AC于点F，连接EF，证明∠DFE即为二面角的平面角并求出即可．
【解析】
（1）由三视图可知：AD⊥底面CBD，AD=2，底面△BCD为等腰直角三角形，∠CBD=90°，BC=BD=1．
∴V三棱锥A-BCD===；
（2）过D点D作DE⊥AB交AB于E，
由（1）可知：AD⊥平面BCD，∴AD⊥BC，
又BC⊥BD，AD∩BD=D，
∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥DE．
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．
∴DE即为点D到平面ABC的距离．
在Rt△ABD中，==．
（3）过点D作DF⊥AC交AC于点F，连接EF．
由（1）可知：DE⊥平面ABC．
∴DF⊥AC．
则∠DFE即为二面角的平面角．
在Rt△ADC中，由勾股定理可得AC==．
∴DF===．
在Rt△DEF中，sin∠DFE===．