Question

已知椭圆C₁和抛物线C₂有公共焦点F（1，0），C₁的中心和C₂的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C₂分别相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出抛物线C₂的标准方程；
（Ⅱ）若，求直线l的方程；
（Ⅲ）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C₂上，直线l与椭圆C₁有公共点，求椭圆C₁的长轴长的最小值．

Answer

（Ⅰ）抛物线C2有公共焦点F（1，0），可知该抛物线的标准方程的形式和P的值，代入即可；
（Ⅱ）设出直线l的方程为y=k（x-4），联立方程，消去x，得到关于y的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理和△＞0及，消去y1，y2，可求得斜率k的值；
（Ⅲ）设P（m，n），则OP中点为，因为O、P两点关于直线y=k（x-4）对称，利用对称的性质（垂直求平方），可求得斜率k的值，联立直线与椭圆方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，△≥0，解不等式即可椭圆C1的长轴长的最小值．
【解析】
（Ⅰ）∵抛物线C2的焦点F（1，0），
∴=1，即p=2
∴抛物线C2的方程为：y2=4x，
（Ⅱ）设直线AB的方程为：y=k（x-4），（k存在且k≠0）．
联立，消去x，得ky2-4y-16k=0，
显然△=16+64k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则    ①y1•y2=-16          ②
又，所以         ③
由①②③消去y1，y2，得k2=2，
故直线l的方程为，或．
（Ⅲ）设P（m，n），则OP中点为，因为O、P两点关于直线y=k（x-4）对称，
所以，即，解之得，
将其代入抛物线方程，得：，所以，k2=1．
联立，消去y，得：（b2+a2k2）x2-8k2a2x+16a2k2-a2b2=0．
由△=（-8k2a2）2-4（b2+a2k2）（16a2k2-a2b2）≥0，
得16a2k4-（b2+a2k2）（16k2-b2）≥0，
即a2k2+b2≥16k2，
将k2=1，b2=a2-1代入上式并化简，得2a2≥17，所以，即，
因此，椭圆C1长轴长的最小值为．