Question

设，若a₁+a₂+…+a_n=a₁a₂…a_n，则称集合A是集合M的n元“好集”．
（1）写出实数集R上的一个二元“好集”；
（2）是否存在正整数集合N^*上的二元“好集”？说明理由；
（3）求出正整数集合N^*的所有三元“好集”．

Answer

根据集合中元素满足的性质a1+a2+…+an=a1a2…an，可验证{-1，}符合条件求解（1）；
对（2）可用反证法证明：在正整数集合N*上的二元“好集”不存在；
对（3）利用不等式的放缩技巧，不妨设a3＞a2＞a1，a1a2a3=a1+a2+a3＜3a3，这样就可限制a1、a2的大小，从而求出符合条件的“好集”．
【解析】
（1）∵-1+=（-1）×，∴．
（2）设A={a1，a2}是正整数集N*上的二元“好集”，
则a1+a2=a1a2且，不妨设a2＞a1
则a1=a1a2-a2=a2（a1-1），，∵，
∴满足的a1∈N*不存在；
故不存在正整数集合N*上的二元“好集”．
（3）设A={a1，a2，a3}是正整数集N*上的三元“好集”，不妨设，
∵a1a2a3=a1+a2+a3＜3a3⇒a1a2＜3，
满足a1a2＜3的正整数只有a1=1，a2=2，代入a1a2a3=a1+a2+a3得a3=3，
故正整数集合N*的所有三元“好集”为{1，2，3}．