Question

对x∈R，定义函数sgn（x）=
（1）求方程 x²-3x+1=sgn（x） 的根；
（2）设函数f（x）=[sgn（x-2）]•（x²-2|x|）f（x）=[sgn（x-2）]•，若关于x的方程f（x）=x+a有3个互异的实根，求实数a的取值范围；
（3）记点集S={（x，y）|x^sgn（x-1）•y^sgn（y-1）=10，x＞0，y＞0} s={（x，y），点集T={（lgx，lgy）|（x，y）∈S}，求点集T围成的区域的面积．

Answer

（1）根据分段落函数的性质，利用分类讨论思想能够推导方程x2-3x+1=sgn（x）的根．
（2）由于函数，把原方程转化为：．利用数形结合思想能推导出关于x的方程f（x）=x+a有3个互异的实根．
（3）设点P（x，y）∈T，则（10x，10y）∈S．于是有x•sgn（10x-1）+y•sgn（10y-1）=1．由此利用分类讨论思想能求出点集T围成的区域的面积．
【解析】
（1）当x＞0时，sgn（x）=1，
解方程x2-3x+1=1，得x=3（x=0不合题意舍去）；
当x=0时，sgn（x）=0，0不是方程x2-3x+1=0的解；
当x＜0时，sgn（x）=-1，
解方程x2-3x+1=-1，得x=1或x=2（均不合题意舍去）．
综上所述，x=3是方程x2-3x+1=sgn（x）的根．
（2）由于函数，
则原方程转化为：．
数形结合可知：
①a＜-2时，原方程有1个实根；
②当a=-2时，原方程有2个实根；
③当-2＜a＜0时，原方程有3个实根；
④当a=0时，原方程有4个实根；
⑤当时，原方程有5个实根；
⑥当时，原方程有4个实根；
⑦当时，原方程有3个实根；
⑧当时，原方程有2个实根；
⑨当时，原方程有1个实根．
故当时，
关于x的方程f（x）=x+a有3个互异的实根．
（3）设点P（x，y）∈T，则（10x，10y）∈S．
于是有（10x）sgn（10x-1）•（10y）sgn（10y-1）=10，
得x•sgn（10x-1）+y•sgn（10y-1）=1．
当x＞0时，10x-1＞0，sgn（（10x-1），xsgn（10x-1）；
当x＜0时，10x-1＜0，sgn（10x-1）=-1，xsgn（10x-1）=-1；
当x=0时，xsgn（10x-1）=0=0．
∴x•sgn（10x-1）=|x|，
同理，y•sgn（10y-1）=|y|．
∴T={（x，y）||x|+|y|=1}，
点集T围成的区域是一个边长为的正方形，面积为2．