Question

已知函数
（Ⅰ）当a＜0时，证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（I）用定义法证明先取任意的0＜x1＜x2，代入解析式作差，判断差的符号，然后由定义得出结论．
（II）不等式恒成立，即f（x）min＞0．因此利用（I）得出的单调性，进而得出它在[1，+∞）上的最小值，或不等式恒成立⇔x2+x+a＞0，x∈[1，+∞）恒成立，再研究y=x2+x+a的单调性．最后通过解不等式2+a＞0，即可得出答案．
【解析】
（Ⅰ）
设任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，…（1分）
=…（4分）
∵0＜x1＜x2，a＜0，
∴．
即f（x1）＜f（x2）…（6分）
所以，函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，…（7分）
（Ⅱ）解法1：当a≥0，x∈[1，+∞）时，函数f（x）＞0，…（9分）
当a＜0时，由（Ⅰ）知：函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，…（10分）
故当x=1时，f（x）min=2+a，…（12分）
于是当且仅当f（x）min=2+a＞0，函数f（x）＞0恒成立，故-2＜a＜0．
综上所述，所求实数a的取值范围是（-2，+∞）…（14分）
解法2：：，x∈[1，+∞）恒成立，⇔x2+x+a＞0，x∈[1，+∞）恒成立．…（9分）
设y=x2+x+a，x∈[1，+∞）
∵，在区间[1，+∞）上是增函数，…（10分）
∴当x=1时，f（x）min=2+a，…（12分）
于是当且仅当f（x）min=2+a＞0，函数f（x）＞0恒成立，故a＞-2．
所以，所求实数a的取值范围是（-2，+∞）．…（14分）