Question

函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0，
（1）求f（0）的值．
（2）对任意的，，都有f（x₁）+2＜log_ax₂成立时，求a的取值范围．

Answer

（1）通过对等式中的x，y分别赋值1，0求出f（0）的值．
（2）要使不等式恒成立就需左边的最大值小于右边的最小值，通过对a讨论求出右边的最小值，求出a的范围．
【解析】
（1）由已知等式f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x，令x=1，y=0得f（1）-f（0）=2，
又∵f（1）=0，∴f（0）=-2．
（2）由f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x，令y=0得f（x）-f（0）=（x+1）x，
由（1）知f（0）=-2，∴f（x）+2=x2+x．
∵，
∴在上单调递增，
∴
要使任意，都有f（x1）+2＜logax2成立，
当a＞1时，，显然不成立．
当0＜a＜1时，，∴，解得
∴a的取值范围是．