Question

对于函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0），若存在实数x，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．
（1）当a=2，b=-2时，求f（x）的不动点．
（2）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）设x为不动点，则有2x2-x-4=x，变形为2x2-2x-4=0，解方程即可．
（2）将f（x）=x转化为ax2+bx+b-2=0．由已知，此方程有相异二实根，则有△x＞0恒成立求解；
解∵f（x）=ax2+（b+1）x+b-2（a≠0），
（1）当a=2，b=-2时，f（x）=2x2-x-4．
设x为其不动点，即2x2-x-4=x．
则2x2-2x-4=0．∴x1=-1，x2=2．即f（x）的不动点是-1，2．
（2）由f（x）=x得：ax2+bx+b-2=0．
由已知，此方程有相异二实根，△x＞0恒成立，
即b2-4a（b-2）＞0．
即b2-4ab+8a＞0对任意b∈R恒成立．
∴△b＜0．，
∴16a2-32a＜0，
∴0＜a＜2．