Question

已知函数，
（1）若f（x）的单调减区间是（1，2），求f（x）的零点；
（2）若0＜m＜3，0＜n＜3，求f（x）在区间（1，2）上是减函数的概率．

Answer

（1）求出函数的导函数，由函数的减区间为（1，2），可知导函数对应方程的两根为1，2，利用跟与系数的关系列式可求n和m的值，代入原函数后求解对应的3次方程可得函数f（x）的零点；
（2）函数f（x）在区间（1，2）上是减函数，说明其导函数在x∈（1，2）时小于0恒成立，结合二次函数的图象列出关于m，n的不等式组，即得到关于m，n的约束条件，建系后找出可行域，利用几何概型可求f（x）在区间（1，2）上是减函数的概率．
【解析】
（1）由，得：f′（x）=x2-nx+m，
∵f（x）的单调减区间是（1，2）∴方程x2-nx+m=0的两根为1和2，
∴，∴．
令f（x）=0，即，得x=0或（*）
对于方程（*），其判别式△=，∴该方程无解．
∴函数f（x）的零点为0．
（2）f′（x）=x2-nx+m，若f（x）在区间（1，2）上为减函数，则f′（x）＜0对x∈（1，2）恒成立，
由f′（x）是开口向上抛物线，所以，即，
建立直角坐标系，横轴为n轴，纵轴为m轴．

直线1-n+m=0与n轴交点为A（1，0），
直线4-2n+m=0与n轴交点为B（2，0），
求解方程组，即交点C（3，2）．
所以，满足条件的可行域为图中阴影部分，
可行区域面积为，
故f（x）在区间（1，2）上是减函数的概率P=．