Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，E是棱CC₁上动点，F是AB中点，AC=BC=2，AA₁=4．
（1）求证：CF⊥平面ABB₁；
（2）当E是棱CC₁中点时，求证：CF∥平面AEB₁；
（3）在棱CC₁上是否存在点E，使得二面角A-EB₁-B的大小是45°，若存在，求CE
的长，若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）欲证CF⊥平面ABB1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证CF垂直平面ABB1内两相交直线垂直，而CF⊥BB1，CF⊥AB，BB1∩AB=B，满足定理条件；
（Ⅱ）取AB1的中点G，连接EG，FG，欲证CF∥平面AEB1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证CF与平面AEB1内一直线平行即可，而CF∥EG，CF⊄平面AEB1，EG⊂平面AEB1，满足定理条件．EB1-B
（III）以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系C-xyz，设出E点坐标，分别求出平面AEB1与EB1B的法向量，根据二面角A-EB1-B的大小是45°，代入向量夹角公式，构造方程即可得到答案．
证明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，∴BB1⊥平面ABC．
又∵CF⊂平面ABC，
∴CF⊥BB1．
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，F是AB中点，
∴CF⊥AB．
又∵BB1∩AB=B，
∴CF⊥平面ABB1．
（Ⅱ）取AB1的中点G，连接EG，FG．
∵F、G分别是棱AB、AB1中点，
∴FG∥BB1，BB1．
又∵EC∥BB1，，
∴FG∥EC，FG=EC．
∴四边形FGEC是平行四边形，
∴CF∥EG．
又∵CF⊄平面AEB1，EG⊂平面AEB1，
∴CF∥平面AEB1．（9分）
（3）【解析】
以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x，y，z轴正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz
则C（0，0，0），A（2，0，0），B1（0，2，4）（10分）
设E（0，0，m），平面AEB1的法向量=（x，y，z）
则=（-2，2，4），=（-2，0，m）
且⊥，⊥，
于是，即
取z=2，则=（m，m-4，2）（12分）
∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，
∴BB1⊥平面ABC，
又∵AC⊂平面ABC
∴AC⊥BB1
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC
∴AC⊥平面ECBB1
∴=（2，0，0）是平面EBB1的法向量，
二面角A-EB1-B的大小是45°，
则cos45°===（13分）
解得m=
∴在棱CC1上存在点E，使得二面角A-EB1-B的大小是45°．
此时CE=   （14分）