Question

已知点P是圆x²+y²=1上任意一点，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，点R满足，记点R的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设A（0，1），点M、N在曲线C上，且直线AM与直线AN的斜率之积为，求△AMN的面积的最大值．

Answer

（I）根据，确定P，R坐标之间的关系，利用点P是圆x2+y2=1上任意一点，可得点R的轨迹方程；
（Ⅱ）（1）当直线MN的斜率不存在时，不合题意；
（2）当直线MN的斜率存在时，确定直线MN过定点T（0，-3），再计算△AMN的面积，利用换元法，借助于基本不等式，即可求得△AMN的面积的最大值．
【解析】
（I）设R（x，y），P（x，y），则Q（0，y）．
∵，∴，
∵点P是圆x2+y2=1上任意一点，
∴，
∴点R的轨迹方程：．…（6分）
（Ⅱ）（1）当直线MN的斜率不存在时，设MN：．
则，，∴，不合题意．…（7分）
（2）当直线MN的斜率存在时，设lMN：y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2）
联立方程，得（1+3k2）x2+6kbx+3b2-3=0．
∴△=12（3k2-b2+1）＞0，，．…（9分）
又，
即．
将，代入上式，得b=-3．
∴直线MN过定点T（0，-3）．…（11分）
∴=．…（13分）
令，即3k2=t2+8，∴．
当且仅当t=3时，．…（15分）