Question

若对于正整数k，g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（10）=5；设S_n=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2ⁿ），则数列{S_n}的通项公式是    ．

Answer

对m∈N*，有g（2m）=g（m），从而可得当n≥2时，Sn=4n-1+Sn-1，利用Sn=（Sn-Sn-1）+（Sn-1-Sn-2）+…+（S2-S1）+S1，即可求得结论．
【解析】
由题意，g（6）=3，g（10）=5，可得对m∈N*，有g（2m）=g（m）．           
所以当n≥2时，Sn=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2n-1）+g（2n）
=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2n-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2n）]
=[1+3+5+…+（2n-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2×2n-1）]
=+[g（1）+g（2）+…+g（2n-1）]=4n-1+Sn-1，
于是Sn-Sn-1=4n-1，n≥2，n∈N*．
所以Sn=（Sn-Sn-1）+（Sn-1-Sn-2）+…+（S2-S1）+S1=4n-1+4n-2+…+42+4+2
=+2=，n≥2，n∈N*．       
又S1=2，满足上式，
所以对n∈N*，Sn=（4n+2）
故答案为：Sn=（4n+2）