Question

如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，
BC上的点，且满足AE=FC=CP=1．将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连接A₁B，A₁P（如图2）．
（Ⅰ）求证：A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小．

Answer

（Ⅰ）取BE中点D，可得△ADF是正三角形，从而可得EF⊥AD，即A1E⊥EF，根据二面角A1-EF-B为直二面角，可得A1E⊥BE，从而可得A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q，则∠E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角，从而可求其大小．
（Ⅰ）证明：取BE中点D，连接DF．
因为AE=CF=1，DE=1，所以AF=AD=2，
而∠A=60°，即△ADF是正三角形，
又因为AE=ED=1，所以EF⊥AD，
所以在图2中A1E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE，
又BE∩EF=E
∴A1E⊥平面BEF，
∴A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）在图2中，A1E不垂直A1B，
∴A1E是平面A1BP的垂线，又A1E⊥平面BEP，
∴A1E⊥BE．
从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）
设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q，则∠E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q．
在△EBP中，BE=EP=2而∠EBP=60°，∴△EBP是等边三角形．
又A1E⊥平面BEP，∴A1B=A1P，
∴Q为BP的中点，且EQ=，又A1E=1，
在Rt△A1EQ中，tan∠EA1Q==，
∴∠EA1Q=60°，
∴直线A1E与平面A1BP所成的角为60°．