Question

已知定义在[-2，2]上的函数y=f（x）和y=g（x），其图象如图所示：给出下列四个命题：
①方程f[g（x）]=0有且仅有6个根    ②方程g[f（x）]=0有且仅有3个根
③方程f[f（x）]=0有且仅有5个根    ④方程g[g（x）]=0有且仅有4个根
其中正确命题的序号（ ）

A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④

Answer

通过f（x）=0可知函数有三个解，g（x）=0有2个解，具体分析 ①②③④推出正确结论．
【解析】
由图象可得-2≤g（x）≤2，-2≤f（x）≤2，
①由于满足方程f[g（x）]=0 的g（x）有三个不同值，由于每个值g（x）对应了2个x值，
故满足f[g（x）]=0的x值有6个，即方程f[g（x）]=0有且仅有6个根，故①正确．
②由于满足方程g[f（x）]=0的f（x）有2个不同的值，从图中可知，每一个值f（x），
可能对应有1，2，或3个x值，故满足方程g[f（x）]=0的x值可能有2，4，或6个，故②不正确．
③由于满足方程f[f（x）]=0的f（x）有3个不同的值，从图中可知，一个f（x）等于0，
一个f（x）∈（-2，-1），一个f（x）∈（1，2）．
而当f（x）=0对应了3个不同的x值；当f（x）∈（-2，-1）时，只对应一个x值；
当f（x）∈（1，2）时，也只对应一个x值．
故满足方程f[f（x）]=0的x值共有5个，故③正确．
④由于满足方程g[g（x）]=0 的g（x）值有2个，而结合图象可得，每个g（x）值对应2个不同的x值，
故满足方程g[g（x）]=0 的x值有4个，即方程g[g（x）]=0有且仅有4个根，故④正确．
故选 D．