Question

已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1
（1）求f（9），f（27）的值；
（2）若f（3）+f（a-8）＜2，求实数a的取值范围．

Answer

（1）由函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，能求出f（9）和f（27）．
（2）由f（x）+f（x-8）＜2，知f（x）+f（x-8）=f[x（x-8）]＜f（9），再由函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，能求出原不等式的解集．
【解析】
（1）由原题条件，可得到f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=1+1=2，
f（27）=f（3×9）=f（3）+f（9）=1+2=3；
（2）f（3）+f（a-8）=f（3a-24），
又f（9）=2
∴f（3a-24）＜f（9），
函数在定义域上为增函数，即有3a-24＜9，
∴，解得a的取值范围为8＜a＜11．