Question

如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中分离出来的：
（1）试判断A₁是否在平面B₁CD内；（回答是与否）
（2）求异面直线B₁D₁与C₁D所成的角；
（3）如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多可以盛多少体积的水．

Answer

（1）利用正方体对角面是平行四边形的性质即可得出；
（2）利用对角面的性质、表面对角线组成的△AB1D1是等边三角形即可求出；
（3）题目中的图形一个装置来盛水，那么盛最多体积的水时应是三棱锥C1-B1CD1的体积．
【解析】
（1）是．补全正方体如图所示：
证明如下：连接A1D、B1C，∵A1B1∥DC，A1B1=DC，
∴四边形A1B1CD是平行四边形，
∴A1是在平面B1CD内；
（2）连接AB1、AD1，∵对角面AB1C1D是矩形，∴AB1∥DC1，
∴∠AB1D1或其补角是异面直线B1D1与C1D所成的角．
∵AD1=AB1=D1B1，∴△AB1D1是正三角形．
∴∠AB1D1=60°．
∴异面直线B1D1与C1D所成的角是60°．
（3）题目中的图形一个装置来盛水，那么盛最多体积的水时应是
三棱锥C1-B1CD1的体积．
又．
∴用图示中这样一个装置来盛水，那么最多可以盛体积的水．