Question

已知函数f（x）=x²-2ax，x∈[-1，1]
（1）若函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）；
（2）判断并证明函数g（x）的奇偶性；
（3）若函数h（x）=g（x）-x-m有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer

（1）利用配方法可得f（x）=x2-2ax=（x-a）2-a2，x∈[-1，1]，分别讨论a＜-1，-1≤a≤1和a＞1时，函数f（x）的最小值g（a），综合讨论结果，可得答案．
（2）根据（1）中g（a）的解析式，利用函数奇偶性的定义，判断g（-x）与g（x）的关系，可判断函数g（x）的奇偶性；
（3）函数h（x）=g（x）-x-m有两个零点，即方程h（x）=g（x）-x-m=0有两个不等实根，即方程g（x）=x+m有两个不等实根，即函数g（x）的图象与直线y=x+m有两个交点，作出函数g（x）的图象与直线y=x+m，数形结合可得实数m的取值范围．
【解析】
（1）f（x）=x2-2ax=（x-a）2-a2，x∈[-1，1]
当a＜-1时，f（x）在[-1，1]上单调递增，故g（a）=fmin（x）=f（-1）=1+2a；
当-1≤a≤1时，；
当a＞1时，f（x）在[-1，1]上单调递减，故g（a）=fmin（x）=f（1）=1-2a
故…（4分）
（2）由（1）知，g（x）是偶函数，证明如下：
g（x）的定义域为R关于原点对称    …（5分）
当x＜-1时，g（x）=1+2x，-x＞1，则g（-x）=1-2（-x）=1+2x=g（x）
当-1≤x≤1时，g（x）=-x2，-1≤-x≤1，则g（-x）=-（-x）2=-x2=g（x）
当x＞1时，g（x）=1-2x，-x＜-1，则g（-x）=1+2（-x）=1-2x=g（x）
故对任意x∈R都有g（-x）=g（x），所以g（x）是偶函数    …（8分）
（3）函数h（x）=g（x）-x-m有两个零点⇔方程h（x）=g（x）-x-m=0有两个不等实根⇔方程g（x）=x+m有两个不等实根⇔函数g（x）的图象与直线y=x+m有两个交点
作出函数g（x）的图象与直线y=x+m，如图所示．
当抛物线y=-x2与直线y=x+m只有一个交点时
由得x2+x+m=0，∴，此时直线为
由图可知把直线向下平移时，m的值减少，函数g（x）的图象与直线y=x+m有两个交点
故…（12分）