Question

已知函数，其中a＞0
（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与y=1平行，求a的值；
（2）求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer

（1）先求出其导函数，在利用曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与y=1平行，即f'（1）=0即可求a的值；
（2）先由f'（x）=0可得x=a，a＞0，下面分0＜a≤1，1＜a＜2以及a≥2三种情况分别讨论得出函数在区间[1，2]上的单调性，进而求出函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．
【解析】
∵函数，
∴，x≠0．（2分）
（1）由题意可得f'（1）=2（1-a3）=0，解得a=1，（3分）
此时f（1）=4，在点（1，f（1））处的切线为y=4，与直线y=1平行．
故所求a值为1．（4分）
（2）由f'（x）=0可得x=a，a＞0，（5分）
①当0＜a≤1时，f'（x）＞0在（1，2]上恒成立，
所以y=f（x）在[1，2]上递增，（6分）
所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=2a3+2．（7分）
②当1＜a＜2时，

x （1，a） a （a，2）
f'（x） - +
f（x） ↓ 极小 ↑

由上表可得y=f（x）在[1，2]上的最小值为f（a）=3a2+1..（11分）
③当a≥2时，f'（x）＜0在[1，2）上恒成立，
所以y=f（x）在[1，2]上递减．（12分）
所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（2）=a3+5．（13分）
综上讨论，可知：
当0＜a≤1时，y=f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=2a3+2；
当1＜a＜2时，y=f（x）在[1，2]上的最小值为f（a）=3a2+1；
当a≥2时，y=f（x）在[1，2]上的最小值为f（2）=a3+5..（14分）