Question

已知函数f（x）是R上的偶函数，满足f（x）=-f（x+1），当x∈[2011，2012]时，f（x）=x-2013，则（ ）
A．
B．f（sin2）＞f（cos2）
C．
D．f（sin1）＜f（cos1）

Answer

由f（x）=-f（x+1）故函数的周期为2．再由当x∈[2011，2012]时，f（x）=x-2013，可得f（x）在[-1，0]上是
增函数．再由f（x）是R上的偶函数，可得f（x）[0，1]上是减函数．检验各个选项是否正确即可．
【解析】
由f（x）=-f（x+1）可得 f（x）=f（x+2），故函数的周期为2．
当x∈[2011，2012]时的图象与x∈[-1，0]时的图象形状一样，只是左右位置不同．
由于x∈[2011，2012]时，f（x）=x-2003，这是一个增函数，所以f（x）在[-1，0]上是增函数．
已知函数f（x）是R上的偶函数，则在f（x）[0，1]上是减函数．
由于 1＞sin＞cos＞0，∴，故A错．
由于 1＞|sin2|＞|cos2|＞0，∴f（|sin2|）＜f（|cos2|），故B错．
由于 0＜sin＜cos＜1，∴f（sin ）＜f（cos ），故C正确．
由于 1＞sin1＞cos1＞0∴f（sin1）＜f（cos1），故D错．
故选C．