Question

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（Ⅰ）求证：CF⊥B₁E；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．

Answer

（Ⅰ）由题意，欲证线线垂直，可先证出CF⊥平面BB1D1D，再由线面垂直的性质证明CF⊥B1E即可；
（Ⅱ）由题意，可先证明出CF⊥平面BDD1B1，由此得出三棱锥的高，再求出底面△B1EF的面积，然后再由棱锥的体积公式即可求得体积．
【解析】
（I）E、F分别为D1D，DB的中点，
则CF⊥BD，又CF⊥D1D
∴CF⊥平面BB1D1D，∴CF⊥B1E
（II）∵CF⊥平面BDD1B1，
∴CF⊥平面EFB1，，
∵，，
∴，即∠EFB1=90°，
∴=．