Question

设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x-2y=0的距离最小的圆的方程．

Answer

圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P（a，b），圆P截X轴所得的弦长为，
截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x-2y=0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．
解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2=2b2，
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有
r2=a2+1．
从而得2b2-a2=1．
又点P（a，b）到直线x-2y=0的距离为，
所以5d2=|a-2b|2
=a2+4b2-4ab
≥a2+4b2-2（a2+b2）
=2b2-a2=1，
当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．
由此有
解此方程组得或
由于r2=2b2知．
于是，所求圆的方程是
（x-1）2+（y-1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．
解法二：同解法一，得
∴
得①
将a2=2b2-1代入①式，整理得②
把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即
△=8（5d2-1）≥0，
得5d2≥1．
∴5d2有最小值1，从而d有最小值．
将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．
将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．
综上a=±1，b=±1，r2=2．
由|a-2b|=1知a，b同号．
于是，所求圆的方程是
（x-1）2+（y-1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．